Difference eq x(k+2)-4x(k+1)+4x(k)=0, x(0)=1

Equation: x(k + 2) − 4x(k + 1) + 4x(k) = 0, x(0) = 1, x(1) = 0.

Step 1: transform.

[z²X − z²x(0) − z x(1)] − 4[zX − z x(0)] + 4X = 0

(z² − 4z + 4) X = z² x(0) + z x(1) − 4z x(0) = z² − 4z

Step 2: solve.

X(z) = z (z − 4)/(z − 2)²

Step 3: partial fractions on X/z.

X(z)/z = (z − 4)/(z − 2)² = 1/(z − 2) − 2/(z − 2)²

X(z) = z/(z − 2) − 2z/(z − 2)²

Step 4: invert using Z⁻¹[z/(z − a)] = aᵏ and Z⁻¹[z/(z − a)²] = k aᵏ⁻¹:

x(k) = 2ᵏ − 2 · k 2ᵏ⁻¹ = 2ᵏ − k 2ᵏ

Answer: x(k) = (1 − k) 2ᵏ, k ≥ 0

Check from the recurrence x(k + 2) = 4x(k + 1) − 4x(k):

k    : 0   1   2    3    4
x(k) : 1   0  -4  -16  -48

The formula gives x(2) = (−1)(4) = −4, x(3) = (−2)(8) = −16. ✓