Inverse z of (z-4)/((z-1)(z-2)²)

F(z) = (z − 4)/((z − 1)(z − 2)²).

Step 1. Divide by z. Because F(z) has no factor z in the numerator, a pole at z = 0 appears:

F(z)/z = (z − 4)/(z (z − 1)(z − 2)²) = A/z + B/(z − 1) + C/(z − 2) + D/(z − 2)²

• A = (z − 4)/((z − 1)(z − 2)²) at z = 0 = (−4)/((−1)(4)) = 1
• B = (z − 4)/(z (z − 2)²) at z = 1 = −3/1 = −3
• D = (z − 4)/(z (z − 1)) at z = 2 = −2/2 = −1
• C: for large z, F/z ~ 1/z³ has no 1/z term, so A + B + C = 0, giving C = 2

Step 2. Multiply by z:

F(z) = 1 − 3z/(z − 1) + 2z/(z − 2) − z/(z − 2)²

Step 3. Invert:

• Z⁻¹[1] = δ(k) (unit impulse, 1 at k = 0)
• Z⁻¹[z/(z − 1)] = 1
• Z⁻¹[z/(z − 2)] = 2ᵏ
• Z⁻¹[z/(z − 2)²] = k 2ᵏ⁻¹

Answer:

f(k) = δ(k) − 3 + 2 · 2ᵏ − k 2ᵏ⁻¹, k ≥ 0

k    : 0  1  2  3   4
f(k) : 0  0  1  1  -3

Check: F(z) ~ z⁻² for large z, so f(0) = f(1) = 0 and f(2) = 1, matching the table.