- 2073 Magh · 1.5 marks
z-transform of t²e^{-at}
Short answer
Set q=e^{-aT}. Applying the differentiation property twice yields Z[t^2 e^{-at}]=T^2 q z(z+q)/(z-q)^3. For T=1, Z=e^{-a} z(z+e^{-a})/(z-e^{-a})^3.
Find the Z-transform of t² e^{-at}.
Let the sampling period be T and q = e^(−aT).
Step 1. Z[e^(−at)] = z/(z − q).
Step 2. Use Z[t x(t)] = −T z d/dz X(z) twice.
Z[t e^(−at)] = −T z · d/dz [ z/(z − q) ] = −T z · (−q)/(z − q)² = T q z/(z − q)²
Z[t² e^(−at)] = −T z d/dz [ T q z/(z − q)² ] = −T² q z · [ (z − q)² − 2z(z − q) ]/(z − q)⁴ = −T² q z · [ (z − q) − 2z ]/(z − q)³ = T² q z (z + q)/(z − q)³
Answer:
Z[t² e^(−at)] = T² e^(−aT) z (z + e^(−aT)) / (z − e^(−aT))³, |z| > e^(−aT)
For T = 1: e^(−a) z (z + e^(−a))/(z − e^(−a))³.
✓ Answer checked by Claude Opus 5.5 (high effort)