Laplace transforms of functions t²cosat

i) L{t² cos at}

Use L{t² f(t)} = d²F/ds² with F(s) = s/(s² + a²).

F'(s)  = (a² − s²)/(s² + a²)²
F''(s) = [−2s(s² + a²)² − (a² − s²)·2(s² + a²)·2s]/(s² + a²)⁴
       = [−2s(s² + a²) − 4s(a² − s²)]/(s² + a²)³
       = (2s³ − 6a²s)/(s² + a²)³
       = 2s(s² − 3a²)/(s² + a²)³

ii) L{(1 − cosh at)/t}

Use L{f(t)/t} = ∫ₛ^∞ F(u) du with F(s) = 1/s − s/(s² − a²).

∫ₛ^∞ [1/u − u/(u² − a²)] du = [ln u − ½ ln(u² − a²)]ₛ^∞
 = 0 − ln(s/√(s² − a²))
 = ln(√(s² − a²)/s) = ½ ln((s² − a²)/s²)        (s > |a|)

Answers: i) 2s(s² − 3a²)/(s² + a²)³; ii) ½ ln((s² − a²)/s²).