z-transform of cos kθ and aᵏ cos kθ

Z-transform of cos kθ

Use Euler's formula cos kθ = (e^{jkθ} + e^{−jkθ})/2 and Z[bᵏ] = z/(z − b), |z| > |b|.

Z[cos kθ] = ½ [ z/(z − e^{jθ}) + z/(z − e^{−jθ}) ]
          = ½ · z [ (z − e^{−jθ}) + (z − e^{jθ}) ]
                / [ (z − e^{jθ})(z − e^{−jθ}) ]
          = ½ · z [ 2z − 2 cos θ ] / [ z² − 2z cos θ + 1 ]

Z[cos kθ] = z (z − cos θ) / (z² − 2z cos θ + 1), |z| > 1. ✓

Z-transform of aᵏ cos kθ

Scaling (damping) property: if Z[x(k)] = X(z), then Z[aᵏ x(k)] = X(z/a).

Replace z by z/a:

Z[aᵏ cos kθ] = (z/a)(z/a − cos θ) / ( z²/a² − 2(z/a) cos θ + 1 )
             = (z/a)(z − a cos θ)/a  ·  a² / (z² − 2az cos θ + a²)

Answer: Z[aᵏ cos kθ] = z (z − a cos θ) / (z² − 2a z cos θ + a²), |z| > |a|.