z-transform of sin at

Take sampling period T, so x(kT) = sin(akT). Using sin at = (e^(iat) − e^(−iat))/(2i) and Z[e^(±iat)] = z/(z − e^(±iaT)) for |z| > 1:

Z[sin at] = (1/2i) [ z/(z − e^(iaT)) − z/(z − e^(−iaT)) ] = (1/2i) · z [ (z − e^(−iaT)) − (z − e^(iaT)) ] / [ (z − e^(iaT))(z − e^(−iaT)) ]

Numerator: z (e^(iaT) − e^(−iaT)) = z · 2i sin aT. Denominator: z² − 2z cos aT + 1.

Answer:

Z[sin at] = z sin aT / (z² − 2z cos aT + 1), |z| > 1

(For T = 1: z sin a/(z² − 2z cos a + 1).)